miércoles, 7 de octubre de 2009

La distancia del horizonte. Geometría para turistas (¡las raíces cuadradas le acompañan en los miradores!)

Una atracción turística ligada a miradores de montañas o de torres es el poder obervar "la vista" del lugar. Diversas leyendas rurales y proclamas ingenuas le aseguran siempre vistas a muchísmos kilómetros a la redonda aunque al final oirá aquello de "lástima que hoy haya neblina", "lástima que hoy no esté el día más claro..."

Observe la figura adjunta.

Como un meridiano terrestre mide 40.000.000 metros (por la definición de metro), si R es el radio de la tierra será 2πR = 40.000 km;
es decir, podemos tomar R = 40.000/2π = 6.370 km.


Si usted se sitúa en un punto P, a una altura A sobre el nivel del mar, observe que el punto terrestre Q más alejado que teóricamente podrá ver, forma con P y el centro de la tirres (¡homenaje a Julio Verne!) un triángulo rectángulo.

La distancia de visión PQ será, por el teorema de Pitágoras:
PQ2 = (R + A)2 – R2 = A2 + 2AR.

Y siendo A muy pequeño en relación a R (aunque esté en el Everest A serían 8 km frente a R = 6370 km) la cantidad A2 es pequeña y PQ2 = 2AR, es decir:
PQ ≈ √2AR.

Así si A = 1.000 m es PQ ≈ 112,8 km.

Ya ve ¡las raíces cuadradas le acompañan en los miradores!






















Bibliografía

Alsina, Claudi; Geometría para turistas.
Una guía para disfrutar de 125 maravillas mundiales y descubrir muchas más.
Editorial Ariel, Madrid, 2009, pag. 178


3 comentarios:

  1. Al nivel del mar, A=0, luego PQ=0 ¿La distancia al horizonte sería cero?

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  2. Si pusieras tu ojo a la altura del suelo sí, pero si tienes en cuenta que los ojos están a una altura p.e. de 1,60 m, tendrías una distancia al horizonte de la raíz cuadrada de 2 x 1,6 x 6370000 = 4.514 metros, es decir, 4 kilómetros y medio.
    Por eso los marineros se subían a lo alto de los mástiles, porque a 100 metros del suelo la distancia al horizonte es más de 35 km (raíz de 2 x 100 x 6370000).
    La verdad es que estas cosas me parecen apasionantes!!!

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